引言

金融世界本质上是一个由不确定性驱动的大规模、实时的“数据实验室”。每一天，全球市场都在产生海量的数据——股票价格如心跳般起伏，宏观经济指标牵动着亿万资金的流向，公司财报则像一次次突然的“压力测试”。在这个充满“噪声”的复杂系统中，一个核心问题始终萦绕在每一位投资者、分析师和风险经理的心中：我们如何从这些随机波动的数据中，提取出有价值的信息，从而做出更明智的决策？统计就是核心。我计划写一个系列，尽可能帮助大家详细理解。（我自己顺便复习一下）

为什么要统计推断（Statistical Inference）？

统计推断是统计学的一个核心分支，它让我们能够利用从样本数据中计算得出的统计量，去对产生这些数据的总体参数做出合理的、量化的推断。我们几乎永远无法获得“总体”（永远无法到达oo的真实，我中了黄金镇魂曲？！）——我们无法知道所有未来可能的股价，无法遍历每一种经济情景，也无法让时间倒流进行无数次重复投资。我们能拥有的，仅仅是历史数据这一个“样本”。因此，我们必须依靠统计推断这把钥匙，来解锁数据背后的深层含义。

1.概率

先来点基础定义

定义：

1. 样本空间（sample space）（$\Omega$）：一个实验所有可能结果的集合。
2. 结果（outcome）、实现（realization） 或 元素（element）（$\omega$）：样本空间中的一个点，记为$\omega \in \Omega$。($\in$是属于的意思）
   (P.S. 一个意思，不用太细究区分，硬要说我理解实现realization就是需要进一步计算一下，见下文举例。)
3. 事件（event） 或叫 随机事件（random event）($A$)：$\Omega$ 的一个子集，$A \subset \Omega$,即一些样本结果的集合。

我们来举一个简单的例子：标普500指数明天的价格
1.样本空间：

• 最简样本空间只考虑最核心的方向:$\Omega_1= \{\text{上涨}, \text{下跌}, \text{持平}\}$.
• 但是样本空间也可以在复杂一点，考虑方向和幅度。$\Omega_2= \{\omega: \omega \in \mathbb{R} \}$ 这里的 $\omega$代表具体的收益率百分比。例如，$\omega = +0.5\%$或 $\omega = -1.2\%$。但这是一个不可数无限样本空间。
• 我们还可以将收益率离散来构造样本空间$\Omega_3= \{\text{..., 大跌}(> -2\%), \text{小跌}(-2\% \sim 0\%), \text{小涨}(0\% \sim +2\%), \text{大涨}(> +2\%) \}$

2. 结果、实现 或 元素
   这是样本空间中的一个单一、不可再分的基本结果。对应到上面的样本空间的话如下：

• 在 $\Omega_1$ 中，一个结果是：上涨。
• 在 $\Omega_2$ 中，一个结果（或实现，因为这个东西需要自己定义收益公式，不是直接得到的）是：+0.45%。
• 在 $\Omega_3$ 中，一个结果是：小涨(0% to +2%)。

3. 事件

事件是样本空间的子集，即一个或多个结果的集合。这里在$\Omega_1$和$\Omega_3$中结果就是事件，因为每个结果都是独立的，并不存在同时上涨和下跌,大涨和大跌这种情况。这里举个其他的例子：

• $A$: “标普500指数明日上涨” = $\{ \omega \in \Omega_2 : \omega > 0 \}$。这是一个包含无限多个结果（所有正收益率）的集合。
• $B$: “标普500指数明日跌幅超过1%” = $\{ \omega \in \Omega_2 : \omega < -1\% \}$。

更多的定义：

1. 事件 $A$ 的补集：$A^c = \{\omega \in \Omega : \omega \notin A\}$。这里显然，$\Omega^c = \emptyset$（空集）。
2. 事件 $A$ 与 $B$ 的并集：$A \cup B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ 或 } \omega \in B\}$， 则有 $A \cup B = B \cup A$，且 $A \cup A^c = \Omega$。
3. 事件 $A$ 与 $B$ 的交集：$A \cap B \equiv AB = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ 且 } \omega \in B\}$，则有 $A \cap B = B \cap A$，且 $A \cap A^c = \emptyset$。
4. 事件序列的并与交(就是有一堆A,他们的交集并集可以用下面的数学符号表示)：如果 $A_1, A_2, \cdots$ 是一个事件序列，则：$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \{\omega \in \Omega : \omega \in A_i \text{ 对至少一个 } i\}$
   $\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = \{\omega \in \Omega : \omega \in A_i \text{ 对所有的 } i\}$
5. 事件 $A$ 与 $B$ 的差集:$A \setminus B = \{\omega \in A : \omega \notin B\}$
   也记作 $A - B$。
6. 包含关系：如果事件 $A$ 的发生意味着事件 $B$ 的发生，则称 $A \subset B$。注意$A$发生意味着$B$发生，但$B$发生不一定意味着$A$发生，所以$A$是$B$的子集但$B \not\subset A$

这个我就不具体举例了，举起来没完，记不住也不用太担心，用个一两回就记住了。

以及更多的定义：（数学是这样的，定义定理一大堆，但不记住的话你看啥都看不懂，所以说数学是语言，数学是文科没毛病）

1. 互斥 或 不相交 事件： 如果 $A \cap B = \emptyset$，则 $A$ 和$B$ 是互斥的。根据之前定义的，显然 $A$ 和 $A^c$ 就是互斥的。比如，股票涨停和跌停就是互斥的，当然上涨与下跌与持平也是。

2. 样本空间（$\Omega$） 的划分：一个不相交的事件序列 $A_1, A_2, \cdots$，使得
   $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega.$ 这个上文定义样本空间的时候就展示了，很直观。

3. $A$ 的指示函数：$I_A \equiv I_A(\omega)$,这是一个定义在 $\omega \in \Omega$ 上的函数：
   $I_A = \begin{cases} 1 & \text{如果 } A \text{ 发生} \\ 0 & \text{否则}, \end{cases}$
   或者等价地（更装逼数学规范）
   $I_A(\omega) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } \omega \in A \\ 0 & \text{如果 } \omega \notin A. \end{cases}$
   指数函数其实到处都是，而且很实用。例如，一个期权如果在交易日结束时股票上涨 ($A$) 则支付 1 美元，否则支付 0 美元。其支付函数就是$I_A$。上文中的$\Omega_3$就可以通过定义一个指示函数由$\Omega_2$得来，i.e. $\Omega_3=I_{\Omega_2}$。

4. 单调事件序列及其极限：

• 一个序列 $A_1, A_2, \cdots$ 单调递增，如果$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \quad$ ,那么我们就可以定义$\lim_{n \to \infty} A_n = \cup_{i=1}^{\infty} A_i$。
• 类似的，一个序列 $A_1, A_2, \cdots$ 单调递减，如果 $A_1 \supset A_2 \supset \cdots \quad$ ,那么我们就可以定义 $\lim_{n \to \infty} A_n = \cap_{i=1}^{\infty} A_i.$

在两种情况下，我们都可以写作 $A_n \to A$，其中 $A$ 表示其极限。(我也觉得很抽象）
我们来举一个例子方便理解：（其实不理解也没啥关系，我还没用到过这个）

• 令 $\Omega = (-\infty, \infty)$，$A_i = [0, 1/i]$。那么$\lim_{n \to \infty} A_n =\cup_{i=1}^{\infty} A_i = [0, 1], \quad \cap_{i=1}^{\infty} A_i = \{0\}.$

• 同样的样本空间下，如果我们改为 $A_i = (0, 1/i)$，那么 $\cup_{i=1}^{\infty} A_i = (0, 1)$ 且 $\cap_{i=1}^{\infty} A_i = \emptyset$。
• 对于 $A_i = (-i, i)$，$\cup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega$。

怎么说呢，因为涉及到极限，我想到的现实一点的例子就是债券的久期（Duration）。但债券的久期感觉更难解释，之后要是有机会讲固收的话可以细讲。用个数学上比较常见的例子。先糊弄一下了 。

P.S. deepseek说： 单调事件序列的极限理论，为金融中分析"随着某个参数变化，风险如何累积或收敛"提供了严谨的框架。无论是评估极端损失（单调递减序列的极限）还是评估最大风险暴露（单调递增序列的极限），这都是至关重要的概念。久期正是衡量这种利率风险暴露的一个核心指标。(这我不懂desuwa，但我感觉应该有的是更常用的理论工具，比如时序time series，疯狂挖坑）

概率公理与性质

概率的定义：
一个函数$P$，它将一个实数$P(A)$分配给样本空间中的每个事件，如果满足以下三个条件，则称为概率函数：

i. 对任何事件$A$，有$P(A) \geq 0$，
ii. $P(\Omega) = 1$，且
iii. 对于互斥事件$A_1, A_2, \cdots$，有$P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$。

举个栗子：

独立性

定义

$k$个事件$A_1, \cdots, A_k$被称为 独立的，如果对于任何$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_j \leq k$和$2 \leq j \leq k$，都有
$P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{ij}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \cdots P(A_{ij})$。

直观理解。 如果$A$和$B$是独立的，那么$A$的发生不会给我们提供关于事件$B$是否发生的任何信息。例如，如果两个人各抛一枚硬币，这两个结果是相互独立的。

条件概率与贝叶斯公式

贝叶斯公式

令$A_1, \cdots, A_k$是$\Omega$的一个划分。对于任何事件$B$，全概率定律指出：
$P(B) = P(BA_1) + \cdots + P(BA_k).$

证明.
$B = B\Omega = B(\cup_i A_i) = \cup_i (BA_i)$。由于$BA_1, \cdots, BA_k$是互斥的，该定律成立。

定理 (贝叶斯公式)

令$P(B) > 0$且$P(A_i) > 0$，对于$i = 1, \cdots, k$。那么
$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^k P(B|A_i)P(A_i)}.$

证明.
$P(A_i|B) = P(A_iB)/P(B) = P(B|A_i)P(A_i)/P(B)$。用全概率公式替换$P(B)$，我们得到贝叶斯公式。